1. 一个具体问题
一项游戏每局似乎都值得参与，但资金有限，输到零就必须退出。即便后来还会出现许多好机会，已经出局的人也没有资本继续参与。平均收益与能否坚持到长期，是两个不同问题。
2. 一句话解释
破产风险是在不利路径下，资本跌到无法继续履约或参与的门槛，从而失去后续恢复机会的概率。
3. 出处与原意
概率论中的“赌徒破产问题”研究随机输赢过程触及资金边界的概率，是随机游走的经典模型。MIT 的概率与金融课程使用这一问题说明有限资本和停止边界。现实中的破产门槛不一定是零，也可能是贷款违约或无法支付必要开支。
4. 原理与机制
在每局独立、以概率 p 赢 1 单位、以 q＝1−p 输 1 单位的简化游戏中，初始资金 i，到 0 破产、到 N 退出。若 p＝q＝0.5，先触及 0 的概率为 1−i÷N。
这个结果依赖固定单位下注、独立同分布及两端吸收边界，不能直接当作股票账户的破产概率。它说明：即使每局没有负期望，起点与目标边界仍影响出局机会。现实风险还包括大额跳跃损失、相关事件和被迫追加资金，这些可能让简单模型过于乐观。
5. 一个完整案例
假设一个公平游戏中，起始资金为 10 单位，达到 20 单位就停止，跌到 0 也停止。先破产的概率为 1−10÷20＝50%。每局期望收益为零，并没有阻止一半路径先触及破产边界。
把起始资金改为 15、目标仍为 20，在同样规则下，破产概率降为 25%。这不是说凭空增加本金就能创造收益，而是缓冲改变了到达边界的路径。
再看一个不同的假设：把全部资金押在一项有 60% 概率翻倍、40% 概率归零的机会。它的简单期望收益为正，但一次就有 40% 的概率退出。是否接受，不能只由期望值决定。
6. 适用条件与反例
适合分析负债经营、集中投资、反复参与风险项目以及现金储备的意义。降低单次暴露、避免风险高度相关和留出缓冲，往往比追求更高的纸面平均收益更直接地影响生存能力。
不过，不能未经建模便宣称某种策略“永不破产”。真正的风险分布通常未知，历史上没有发生过的损失不等于不可能发生。保守计算应说明遗漏了哪些情景。
7. 今天可以尝试的行动
先定义自己的“无法继续”门槛：最低现金、合同约束或必要支出。再列出一次冲击与连续冲击如何触达它；把单笔最大损失和风险相关性放在同一张表上，而不是只看预期回报。